之 — это служебное слово вэньяня, присутствует в современном письменном языке.
的 — это байхуёвое слово, присутствует как в современном письменном, так и в устном языке.
Одно из значений — принадлежность — у них совпадает. 母子之乐 это то же самое, что 母亲和孩子的快乐, только первое имеет более возвышенную, книжную, немного старинную стилистическую окраску, а второе это нейтральная (но вместе с тем и невыразительная) форма.
В то же время, у 之 есть куча других значений, например, иногда оно соответствует разговорному 它, так и у 的 есть много вариантов употребления, например, оно может соответствовать классическому 者.
короче 的 это разговорное для всего подряд, 之 никак не разговорное,как минимум на бытовом общении не применяется-только для больших, крсивых, важных значений в основном в письменном языке.........
之 спокойно используется в разговорном. 之前, 之后 и другие
Важно ещё помнить, что когда 之 используется вместо 的 в притяжательной функции, то это обычно конструкция вида XY之Z. Считается, что такие конструкции из четырёх иероглифов 比较顺口. В любом случае даже если у Вас перед 之 идёт несколько иероглифов, то после всё равно желателен один, а не два или больше.